Question

设平面直角坐标系x0y中，设二次函数f（x）=x²+2x+b（x∈R）的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．
求：
（1）求实数b的取值范围；
（2）求圆C的方程．

Answer 1

分析：（1）由二次函数图象与两坐标轴有三个交点，得到抛物线不过原点，令x=0，求出对应y的值，确定出抛物线与y轴的交点，得b不为0，且抛物线与x轴有两个交点，令y=0，得到关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列出关于b的不等式，求出不等式的解集即可得到b的范围；
（2）设所求圆方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，令y=0得到关于x的方程，与已知方程为同一方程，确定出D与F，令x=0得到关于y的方程，将y=b代入表示出E，将D、E、F代入即可确定出圆C的方程．

解答：解：（1）令x=0，得抛物线与y轴交点是（0，b）；
令f（x）=x²+2x+b=0，由题意得：b≠0且△＞0，
解得：b＜1且b≠0；
（2）设所求圆的一般方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
令y=0得：x²+Dx+F=0这与x²+2x+b=0=0是同一个方程，故D=2，F=b；
令x=0得：y²+Ey+F=0，此方程有一个根为b，代入得出E=-b-1，
∴圆C的方程为x²+y²+2x-（b+1）y+b=0．

点评：此题考查了圆的一般式方程，以及二次函数的性质，是一道综合性较强的试题．