[例] 设,则的定义域为( )
A. ;B. ;C. ;D.
科目:高中数学 来源: 题型:
3x+a | x+b |
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科目:高中数学 来源:2012年上海市普陀区高三年级第二次质量调研二模理科试卷(解析版) 题型:解答题
设点是抛物线的焦点,是抛物线上的个不同的点().
(1) 当时,试写出抛物线上的三个定点、、的坐标,从而使得
;
(2)当时,若,
求证:;
(3) 当时,某同学对(2)的逆命题,即:
“若,则.”
开展了研究并发现其为假命题.
请你就此从以下三个研究方向中任选一个开展研究:
① 试构造一个说明该逆命题确实是假命题的反例(本研究方向最高得4分);
② 对任意给定的大于3的正整数,试构造该假命题反例的一般形式,并说明你的理由(本研究方向最高得8分);
③ 如果补充一个条件后能使该逆命题为真,请写出你认为需要补充的一个条件,并说明加上该条件后,能使该逆命题为真命题的理由(本研究方向最高得10分).
【评分说明】本小题若填空不止一个研究方向,则以实得分最高的一个研究方向的得分作为本小题的最终得分.
【解析】第一问利用抛物线的焦点为,设,
分别过作抛物线的准线的垂线,垂足分别为.
由抛物线定义得到
第二问设,分别过作抛物线的准线垂线,垂足分别为.
由抛物线定义得
第三问中①取时,抛物线的焦点为,
设,分别过作抛物线的准线垂线,垂足分别为.由抛物线定义得
,
则,不妨取;;;
解:(1)抛物线的焦点为,设,
分别过作抛物线的准线的垂线,垂足分别为.由抛物线定义得
因为,所以,
故可取满足条件.
(2)设,分别过作抛物线的准线垂线,垂足分别为.
由抛物线定义得
又因为
;
所以.
(3) ①取时,抛物线的焦点为,
设,分别过作抛物线的准线垂线,垂足分别为.由抛物线定义得
,
则,不妨取;;;,
则,
.
故,,,是一个当时,该逆命题的一个反例.(反例不唯一)
② 设,分别过作
抛物线的准线的垂线,垂足分别为,
由及抛物线的定义得
,即.
因为上述表达式与点的纵坐标无关,所以只要将这点都取在轴的上方,则它们的纵坐标都大于零,则
,
而,所以.
(说明:本质上只需构造满足条件且的一组个不同的点,均为反例.)
③ 补充条件1:“点的纵坐标()满足 ”,即:
“当时,若,且点的纵坐标()满足,则”.此命题为真.事实上,设,
分别过作抛物线准线的垂线,垂足分别为,由,
及抛物线的定义得,即,则
,
又由,所以,故命题为真.
补充条件2:“点与点为偶数,关于轴对称”,即:
“当时,若,且点与点为偶数,关于轴对称,则”.此命题为真.(证略)
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科目:高中数学 来源: 题型:
(1)若函数f(x)=的图象上有两个关于原点对称的不动点,求a、b满足的条件;
(2)在(1)的条件下,若a=8,记函数f(x)图象上的两个不动点分别为A、A′,P为函数f(x)的图象上的另一点,且其纵坐标yP>3,求点P到直线AA′距离的最小值及取得最小值时点P的坐标.
(3)命题“若定义在R上的奇函数f(x)的图象上存在有限个不动点,则不动点有奇数个”是否正确?若正确,试给予证明,并举出一例;若不正确,试举一反例说明.
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科目:高中数学 来源:2003-2004学年江苏省无锡市天一中学高二(下)期末数学试卷(强化班)(解析版) 题型:解答题
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