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[例] 设,则的定义域为(   )

A. B. C. D.

B


解析:

得,的定义域为,故

解得。故的定义域为.选B.

【名师指引】求复合函数定义域,即已知函数的定义为,则函数的定义域是满足不等式x的取值范围;一般地,若函数的定义域是,指的是,要求的定义域就是的值域。

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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)的定义域为D,若存在x0∈D,使f(x0)=x0成立,则称以(x0,x0)为坐标的点为函数f(x)图象上的不动点.
(1)若函数f(x)=
3x+ax+b
图象上有两个关于原点对称的不动点,求a,b应满足的条件;
(2)在(1)的条件下,若a=8,记函数f(x)图象上的两个不动点分别为A、B,点M为函数图象上的另一点,且其纵坐标yM>3,求点M到直线AB距离的最小值及取得最小值时M点的坐标;
(3)下述命题“若定义在R上的奇函数f(x)图象上存在有限个不动点,则不动点的有奇数个”是否正确?若正确,给出证明,并举一例;若不正确,请举一反例说明.

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科目:高中数学 来源: 题型:

 [例] 定义集合运算:.设

,则集合的所有元素之和为(    )

A.0;B.2;C.3;D.6

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科目:高中数学 来源:2012年上海市普陀区高三年级第二次质量调研二模理科试卷(解析版) 题型:解答题

设点是抛物线的焦点,是抛物线上的个不同的点().

(1) 当时,试写出抛物线上的三个定点的坐标,从而使得

(2)当时,若

求证:

(3) 当时,某同学对(2)的逆命题,即:

“若,则.”

开展了研究并发现其为假命题.

请你就此从以下三个研究方向中任选一个开展研究:

① 试构造一个说明该逆命题确实是假命题的反例(本研究方向最高得4分);

② 对任意给定的大于3的正整数,试构造该假命题反例的一般形式,并说明你的理由(本研究方向最高得8分);

③ 如果补充一个条件后能使该逆命题为真,请写出你认为需要补充的一个条件,并说明加上该条件后,能使该逆命题为真命题的理由(本研究方向最高得10分).

【评分说明】本小题若填空不止一个研究方向,则以实得分最高的一个研究方向的得分作为本小题的最终得分.

【解析】第一问利用抛物线的焦点为,设

分别过作抛物线的准线的垂线,垂足分别为.

由抛物线定义得到

第二问设,分别过作抛物线的准线垂线,垂足分别为.

由抛物线定义得

第三问中①取时,抛物线的焦点为

分别过作抛物线的准线垂线,垂足分别为.由抛物线定义得

,不妨取

解:(1)抛物线的焦点为,设

分别过作抛物线的准线的垂线,垂足分别为.由抛物线定义得

 

因为,所以

故可取满足条件.

(2)设,分别过作抛物线的准线垂线,垂足分别为.

由抛物线定义得

   又因为

所以.

(3) ①取时,抛物线的焦点为

分别过作抛物线的准线垂线,垂足分别为.由抛物线定义得

,不妨取

.

是一个当时,该逆命题的一个反例.(反例不唯一)

② 设,分别过

抛物线的准线的垂线,垂足分别为

及抛物线的定义得

,即.

因为上述表达式与点的纵坐标无关,所以只要将这点都取在轴的上方,则它们的纵坐标都大于零,则

,所以.

(说明:本质上只需构造满足条件且的一组个不同的点,均为反例.)

③ 补充条件1:“点的纵坐标)满足 ”,即:

“当时,若,且点的纵坐标)满足,则”.此命题为真.事实上,设

分别过作抛物线准线的垂线,垂足分别为,由

及抛物线的定义得,即,则

又由,所以,故命题为真.

补充条件2:“点与点为偶数,关于轴对称”,即:

“当时,若,且点与点为偶数,关于轴对称,则”.此命题为真.(证略)

 

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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)的定义域为D,若存在x0∈D,使得y0=f(x0)=x0,则称以(x0,y0)为坐标的点为函数图象上的不动点.

(1)若函数f(x)=的图象上有两个关于原点对称的不动点,求a、b满足的条件;

(2)在(1)的条件下,若a=8,记函数f(x)图象上的两个不动点分别为A、A′,P为函数f(x)的图象上的另一点,且其纵坐标yP>3,求点P到直线AA′距离的最小值及取得最小值时点P的坐标.

(3)命题“若定义在R上的奇函数f(x)的图象上存在有限个不动点,则不动点有奇数个”是否正确?若正确,试给予证明,并举出一例;若不正确,试举一反例说明.

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科目:高中数学 来源:2003-2004学年江苏省无锡市天一中学高二(下)期末数学试卷(强化班)(解析版) 题型:解答题

设函数f(x)的定义域为D,若存在x∈D,使f(x)=x成立,则称以(x,x)为坐标的点为函数f(x)图象上的不动点.
(1)若函数f(x)=图象上有两个关于原点对称的不动点,求a,b应满足的条件;
(2)在(1)的条件下,若a=8,记函数f(x)图象上的两个不动点分别为A、B,点M为函数图象上的另一点,且其纵坐标yM>3,求点M到直线AB距离的最小值及取得最小值时M点的坐标;
(3)下述命题“若定义在R上的奇函数f(x)图象上存在有限个不动点,则不动点的有奇数个”是否正确?若正确,给出证明,并举一例;若不正确,请举一反例说明.

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