Question

1．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}+a，x＞2}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}（\frac{9}{4}-x）+{a}^{2}，x≤2}\end{array}\right.$，若f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是（-∞，-1]∪[2，+∞）．

Answer 1

分析 判断分段函数在各自取值范围上的单调性，结合函数的值域为R，得到两个函数的最值之间的关系建立不等式关系进行求解即可．

解答 解：当x＞2时，函数f（x）=2^x+a，为增函数，
当x≤2时，函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}（\frac{9}{4}-x）$+a²，为增函数，
若f（x）的值域为R，
则满足当x＞2时的范围小于或等于当x≤2时的最大值，
即2²+a≤log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{9}{4}$-2）+a²，
即4+a≤log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1}{4}$+a²=2+a²，
即a²-a-2≥0，
得a≥2或a≤-1，
故答案为：（-∞，-1]∪[2，+∞）

点评 本题主要考查函数值域的求解和应用，根据分段函数的单调性，得到两个函数最值之间的关系是解决本题的关键．