Question

12、设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，且q＞0，q≠1．
（1）若a₁=q^m，m∈Z，且m≥-1，求证：数列{a_n}中任意不同的两项之积仍为数列{a_n}中的项；
（2）若数列{a_n}中任意不同的两项之积仍为数列{a_n}中的项，求证：存在整数m，且m≥-1，使得a₁=q^m．

Answer 1

分析：（1）设出等比数列中的不同的两项，然后求出两项的积，利用等比数列的通项公式化简后，根据等比数列的通项公式即可得到积为等比数列中的项，得证；
（2）根据等比数列{a_n}中任意不同两项之积仍为数列{a_n}中的项，设出两项之积的项，利用等比数列的通项公式化简可得存在整数m使a₁=q^m，然后利用反证法证明m大于等于-1，方法是，先假设m小于-1，得到-m大于等于2，令k等于-m，根据题意推出r的值为0，与r为正整数矛盾，所以假设错误，原命题正确，得证．

解答：证明：（1）设a_r，a_t为等比数列{a_n}中不同的两项，
由a₁=q^m，得a_r•a_t=a₁q^r-1•a₁q^t-1=a₁•q^{（r+t+m-1）-1}．
又r+t≥3，且m≥-1，所以r+m+t-1≥1．
所以a_r，a_t是数列{a_n}的第r+m+t-1项；
（2）等比数列{a_n}中任意不同两项之积仍为数列{a_n}中的项，
令a_s•a_t=a_l（l，t，s∈N^*，t≠s），
由a_s=a₁•q^s-1，a_t=a₁•q^t-1，a_l=a₁•q^l-1，得a₁•q^s-1••a₁•q^t-1=a₁•q^l-1，a₁=q^l-s-t+1．
令整数m=l-s-t+1，则a₁=q^m．
下证整数m≥-1．
若设整数m＜-1，则-m≥2．令k=-m，
由题设，取a₁，a_k，使a₁•a_k=a_r（r∈N^*），
即a₁•a₁•q^k-1=a₁•q^r-1，所以q^m•q^-m-1=q^r-1，
即q^-1=q^r-1．所以q＞0，q≠1，-1=r-1，r=0与r∈N^*矛盾；
所以m≥-1．

点评：此题考查学生灵活运用等比数量的通项公式化简求值，掌握等比数列的性质，会利用反证法进行证明，是一道综合题．