Question

在等比数列{a_n}中，已知a₃=

3

2

，S₃=

9

2

．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求和S_n=a₁+2a₂+…+na_n．

Answer 1

分析：（1）由题意可得a₁q²=

3

2

，a₁+a₁q+a₁q²=

9

2

，解方程组即可求得公比q与首项a₁，从而可得等比数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）知，q=1或q=-

1

2

，分类讨论即可．当q=1时，由等差数列的求和公式即可求得S_n；当q=-

1

2

时，可由错位相减法求得S_n．

解答：解：（1）由条件得：a₁q²=

3

2

，（1分）
 a₁+a₁q+a₁q²=

9

2

，（2分）
∴

1+q

q2

=2（3分）                      
∴q=1或q=-

1

2

  （4分）
当q=1时，a₁=

3

2

，a_n=

3

2

（5分）
当q=-

1

2

时，a₁=6，a_n=6(-

1

2

)n-1（6分）
所以当q=1时，a_n=

3

2

； 当q=-

1

2

时，a_n=6(-

1

2

)n-1．（7分）
（2）当q=1时，S_n=

3

2

（1+2+…+n）=

3n(n+1)

4

；（9分）
当q=-

1

2

时，S_n=6[(-

1

2

)0+2×(-

1

2

)1+3×(-

1

2

)2+…+n(-

1

2

)n-1]（10分）
∴-

1

2

S_n=6[(-

1

2

)1+2×(-

1

2

)2+3×(-

1

2

)3+…+n(-

1

2

)n]（11分）
∴

3

2

S_n=6[1+（-

1

2

）+(-

1

2

)2+…+(-

1

2

)n-1-n(-

1

2

)n]（12分）
=6[

1-(- 1 2 )n

1+ 1 2

-n(-

1

2

)n]（13分）
∴S_n=

8

3

-

4

3

（3n+2）×(-

1

2

)n（14分）

点评：本题考查等比数列的通项公式，考查数列的求和，突出考查错位相减法与公式法的应用，考查分类讨论思想与等价转化思想的综合应用，属于中档题．