Question

【题目】已知首项是1的两个数列{an}，{bn}（bn≠0，n∈N*）满足anbn+1﹣an+1bn+2bn+1bn=0．
（1）令cn= ，求数列{cn}的通项公式；
（2）若bn=3n﹣1 ， 求数列{an}的前n项和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵anbn+1﹣an+1bn+2bn+1bn=0，cn= ，

∴cn﹣cn+1+2=0，

∴cn+1﹣cn=2，

∵首项是1的两个数列{an}，{bn}，

∴数列{cn}是以1为首项，2为公差的等差数列，

∴cn=2n﹣1

（2）解：∵bn=3n﹣1，cn= ，

∴an=（2n﹣1）3n﹣1，

∴Sn=1×30+3×31+…+（2n﹣1）×3n﹣1，

∴3Sn=1×3+3×32+…+（2n﹣1）×3n，

∴﹣2Sn=1+2（31+…+3n﹣1）﹣（2n﹣1）3n，

∴Sn=（n﹣1）3n+1

【解析】（1）由anbn+1﹣an+1bn+2bn+1bn=0，cn= ，可得数列{cn}是以1为首项，2为公差的等差数列，即可求数列{cn}的通项公式；（2）用错位相减法来求和．