Question

【题目】已知矩形ABCD的长AB=4，宽AD=3，将其沿对角线BD折起，得到四面体A﹣BCD，如图所示，给出下列结论：
①四面体A﹣BCD体积的最大值为 ；
②四面体A﹣BCD外接球的表面积恒为定值；
③若E、F分别为棱AC、BD的中点，则恒有EF⊥AC且EF⊥BD；
④当二面角A﹣BD﹣C为直二面角时，直线AB、CD所成角的余弦值为 ；
⑤当二面角A﹣BD﹣C的大小为60°时，棱AC的长为 ．
其中正确的结论有（请写出所有正确结论的序号）．

Answer 1

【答案】②③④
【解析】解：①四面体ABCD体积最大值为两个面互相垂直，四面体A﹣BCD体积的最大值为 = ，故不正确；
②三棱锥A﹣BCD外接球的半径为 ，所以三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为4 =25π；②正确；
③若E、F分别为棱AC、BD的中点，连接AF，CF则AF=CF，根据等腰三角形三线合一得到EF⊥AC；
连接DE，BE，容易判断△ACD≌△ACB，得到DE=BE，所以EF⊥BD；所以③正确；
④当二面角A﹣BD﹣C为直二面角时，以C为原点CB，CD所在直线分别为x，y轴，则由向量的数量积可以得到直线AB、CD所成角的余弦值为 ，所以④正确．
⑤当二面角A﹣BD﹣C的大小为60°时，棱AC的长为 ，在直角三角形ABD中，AB=4，AD=3，BD=5，
作AE⊥BD，CF⊥BD，则AE=CF= ，DE=BF= ，
同理直角三角形ABC中，则EF=BD﹣DE﹣BF= ，
在平面ABD内，过F作FH∥AE，且FH=AE，连接AH，易得四边形AEFH为矩形，
则AH=EF= ，AH∥EF，
FH⊥DB，又CF⊥DB，即有∠CFH为二面角C﹣BD﹣A的平面角，且为60°，
即CH=CF= ，
由BD⊥平面CFH，得到BD⊥CH，即有AH⊥CH，
则AC= = ，故⑤错误；
所以答案是：②③④．
【考点精析】本题主要考查了棱锥的结构特征的相关知识点，需要掌握侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方才能正确解答此题．