【题目】已知函数f(x)= + .
(1)求f(x)≥f(4)的解集;
(2)设函数g(x)=k(x﹣3),k∈R,若f(x)>g(x)对任意的x∈R都成立,求k的取值范围.
【答案】
(1)解:∵函数f(x)= + = + =|x﹣3|+|x+4|,
∴f(x)≥f(4)即|x﹣3|+|x+4|≥9.
∴① ,或② ,或③ .
得不等式①:x≤﹣5;
解②可得x无解;
解③求得:x≥4.
所以f(x)≥f(4)的解集为{x|x≤﹣5,或x≥4}
(2)解:f(x)>g(x)对任意的x∈R都成立,即f(x)的图象恒在g(x)图象的上方,
∵f(x)=|x﹣3|+|x+4|= .
由于函数g(x)=k(x﹣3)的图象为恒过定点P(3,0),且斜率k变化的一条直线,
作函数y=f(x)和 y=g(x)的图象如图,其中,KPB=2,A(﹣4,7),
∴KPA=﹣1.
由图可知,要使得f(x)的图象恒在g(x)图象的上方,
∴实数k的取值范围为(﹣1,2].
【解析】(1)函数f(x)=|x﹣3|+|x+4|,不等式 f(x)≥f(4)即|x﹣3|+|x+4|≥9.可得① ,或② ,或③ .分别求得①、②、③的解集,再取并集,即得所求.(2)由题意可得,f(x)的图象恒在g(x)图象的上方,作函数y=f(x)和 y=g(x)的图象如图,由KPB=2,A(﹣4,7),可得 KPA=﹣1,数形结合求得实数k的取值范围.
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【题目】已知f(x)是定义在R上且以4为周期的奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=ln(x2﹣x+b),若函数f(x)在区间[﹣2,2]上的零点个数为5,则实数b的取值范围是
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【题目】设f′(x)为函数f(x)的导函数,已知x2f′(x)+xf(x)=lnx,f(1)= , 则下列结论正确的是( )
A.xf(x)在(0,+∞)单调递增
B.xf(x)在(1,+∞)单调递减
C.xf(x)在(0,+∞)上有极大值
D.xf(x)在(0,+∞)上有极小值
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【题目】已知函数 ,其中a,b,c∈R.
(Ⅰ)若a=b=1,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若a=0,且当x≥0时,f(x)≥1总成立,求实数b的取值范围;
(Ⅲ)若a>0,b=0,若f(x)存在两个极值点x1 , x2 , 求证;f(x1)+f(x2)<e.
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【题目】PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.如图是根据环保部门某日早6点至晚9点在惠农县、平罗县两个地区附近的PM2.5监测点统计的数据(单位:毫克/立方米)列出的茎叶图,惠农县、平罗县两个地区浓度的方差较小的是( )
A.惠农县
B.平罗县
C.惠农县、平罗县两个地区相等
D.无法确定
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【题目】已知正实数a,b满足:a+b=2.
(1)求 的最小值m;
(2)设函数f(x)=|x﹣t|+|x+ |(t≠0),对于(Ⅰ)中求得的m,是否存在实数x,使得f(x)=m成立,若存在,求出x的取值范围,若不存在,说明理由.
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【题目】已知D,E是△ABC边BC的三等分点,点P在线段DE上,若 =x +y ,则xy的取值范围是( )
A.[ , ]
B.[ , ]
C.[ , ]
D.[ , ]
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【题目】已知直线 (t为参数)恒过椭圆 (φ为参数)在右焦点F.
(1)求m的值;
(2)设直线l与椭圆C交于A,B两点,求|FA||FB|的最大值与最小值.
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