Question

如图，在等腰梯形CDEF中，CB、DA是梯形的高，AE=BF=2，AB=2

2

，现将梯形沿CB、DA折起，使EF∥AB，且EF=2AB，得一简单组合体ABCDEF如图所示，已知M、N、P分别为AF，BD，EF的中点．
（1）求证：MN∥平面BCF；
（2）求证：AP⊥平面DAE．

Answer 1

分析：（1）连结AC，通过证明MN∥CF，利用直线与平面平行的判定定理证明MN∥平面BCF．
（2）通过证明AP⊥AD，AP⊥AE，利用直线与平面垂直的判定定理求证：AP⊥平面DAE．

解答：解：（1）证明：连结AC，
∵四边形ABCD是矩形，N为BD中点，
∴N为AC中点，
在△ACF中，M为AF中点，故MN∥CF．
∵CF?平面BCF，MN?平面BCF，
∴MN∥平面BCF．
（2）依题意知DA⊥AB，DA⊥AE 且AB∩AE=A，
∴AD⊥平面ABFE
∵AP?平面ABFE，∴AP⊥AD，
∵P为EF中点，
∴PF=AB=2

2

，
结合AB∥EF，知四边形ABFP是平行四边形
∴AP∥BF，AP=BF=2，
而AE=2，PE=2

2

，
∴AP²+AE²=PE²，
∴∠EAP=90°，即AP⊥AE．又AD∩AE=A，
∴AP⊥平面ADE．

点评：本题考查直线与平面平行与垂直的判定定理的应用，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．