Question

【题目】已知函数的图像经过点，曲线在点处的切线恰好与直线垂直．

(1)求实数的值；

(2)求在函数图像上任意一点处切线的斜率的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】试题分析：第一问根据导数的几何意义，对函数求导，求出切线的斜率，根据两条直线垂直，斜率互为负倒数，列出方程，再结合函数图象过点M，列出方程组，解方程组求出a,b，第二问把a,b的值代入函数解析式，求出导数，根据导数的几何意义，表示出切线的斜率，利用配方法求出二次函数的值域，即切线斜率的范围.

试题解析：

(1)因为y′＝f′(x)＝3ax2＋2bx.

∵f(x)＝ax3＋bx2的图象过点M(1,4)，

∴a＋b＝4.

又∵曲线在点M处的切线与直线x＋9y＝0垂直，

∴f′(1)＝9，∴3a＋2b＝9.

由 得， .

(2)由(1)知y′＝f′(x)＝3ax2＋2bx＝3x2＋6x

＝3(x＋1)2－3≥－3.