Question

如图2-3-3所示，已知AB为半圆O的直径，直线MN切半圆于点C，AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E，BE交半圆于点F，AD=3 cm，BE=7 cm.

图2-3-3

（1）求⊙O的半径；

（2）求线段DE的长.

Answer 1

思路分析：（1）连结OC，证C为DE的中点.在解有关圆的切线问题时，常常需要作出过切点的半径.对于（2）则连结AF，证四边形ADEF为矩形，从而得到AD=EF，DE=AF，然后在Rt△ABF中运用勾股定理,求AF的长.

解：（1）连结OC.∵MN切半圆于点C，∴OC⊥MN.

∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴AD∥OC∥BE.

∵OA=OB，∴CD=CE.

∴OC=（AD+BE）=5 cm.

∴⊙O的半径为5 cm.

（2）连结AF.∵AB为半圆O的直径，

∴∠AFB=90°.∴∠AFE=90°.

又∠ADE=∠DEF=90°，∴四边形ADEF为矩形.

∴DE=AF，AD=EF=3 cm.

在Rt△ABF中，BF=BE-EF=4 cm，AB=2OC=10 cm.

由勾股定理，得AF=，∴DE= cm.

    深化升华 在梯形当中，最常见的辅助线是高，通过作高，可以构造出直角三角形，然后在直角三角形中进行相关计算；当题目中涉及圆的切线问题时，常常需要作出过切点的半径，通过它可以构建有用的垂直关系.