Question

16．在数列{a_n}中．已知a₁=1，a_n+1+a_n=cosnπ（n∈N^*），则{a_n}的前2015项和S₂₀₁₅=1008．

Answer 1

分析 通过a_n+1+a_n=cosnπ（n∈N^*）可知a_2n+a_2n+1=cos2nπ=1（n∈N^*），利用S₂₀₁₅=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a₂₀₁₄+a₂₀₁₅）计算即得结论．

解答 解：∵a_n+1+a_n=cosnπ（n∈N^*），
∴a_2n+a_2n+1=cos2nπ=1（n∈N^*），
又∵a₁=1，
∴S₂₀₁₅=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a₂₀₁₄+a₂₀₁₅）
=1+1×1007
=1008，
故答案为：1008．

点评 本题考查数列的求和，利用分组法求和是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．