Question

18．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$≤φ≤$\frac{π}{2}$）的图象关于直线x=$\frac{π}{2}$对称，且图象上相邻2个最高点的距离为π．
（1）求ω和φ的值；
（2）若f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（$\frac{π}{6}$＜α＜$\frac{2π}{3}$），求cos（α+$\frac{3π}{2}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用正弦函数的周期性求得ω=2，再根据f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{2}$对称求得φ的值，可得f（x）的解析式．
（2）由f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，求得cosα的值，可得cos（α+$\frac{3π}{2}$）=sinα 的值．

解答 解：（1）由函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）的图象上相邻2个最高点的距离为π，
可得函数的周期为$\frac{2π}{ω}$=π，求得ω=2．
再根据f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{2}$对称，可得2×$\frac{π}{2}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
再结合-$\frac{π}{2}$≤φ≤$\frac{π}{2}$，可得φ=-$\frac{π}{2}$，f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{2}$）=-$\sqrt{3}$cos2x．
（2）∵f（$\frac{α}{2}$）=-$\sqrt{3}$cosα=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，∴cosα=-$\frac{1}{4}$．
再根据 $\frac{π}{6}$＜α＜$\frac{2π}{3}$，∴sinα=$\sqrt{{1-cos}^{2}α}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，∴cos（α+$\frac{3π}{2}$）=sinα=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性，正弦函数的图象的对称性，同角三角函数的基本关系和诱导公式，属于基础题．