Question

8．定义：对于函数f（x），若在定义域内存在实数x₀，满足f（-x₀）=-f（x₀），则称x₀为函数f（x）的“奇对称点”．
（Ⅰ）求函数f（x）=x²+2x-4的“奇对称点”；
（Ⅱ）若函数f（x）=ln（x+m）在[-1，1]上存在“奇对称点”，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若f（x）存在“奇对称点”，则根据定义可得f（-x₀）=-f（x₀），代入函数解析，构造关于x₀的方程，解得可得答案；
（Ⅱ）若f（x）存在“奇对称点”，则根据定义可得f（-x₀）=-f（x₀），代入函数解析，构造不等式，解得实数m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）依题意有f（-x₀）=-f（x₀），
即（-x₀）²+2（-x₀）-4=-（x₀）²-2（x₀）+4，…（2分）
化简得（x₀）²=4，
解得：x₀=±2，
∴函数f（x）=x²+2x-4的“奇对称点”为±2．        …（4分）
（Ⅱ）依题意函数f（x）=ln（x+m）的定义域为（-m，+∞），…（5分）
又因为函数f（x）=ln（x+m）在[-1，1]上存在“奇对称点”，
等价于关于x的方程ln（-x+m）=-ln（x+m）在[-1，1]上有解，…（7分）
即m²=x²+1在[-1，1]上有解，…（8分）
又∵x²+1∈[1，2]，…（10分）
∴$\left\{\begin{array}{l}-m＜-1\\ 1≤{m}^{2}≤2\end{array}\right.$．
解得：m∈（1，$\sqrt{2}$]，
实数m的取值范围为（1，$\sqrt{2}$]．    …（12分）

点评 本题主要考查与函数奇偶性有关的新定义，根据条件建立方程关系是解决本题的关键，考查学生的计算能力．