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8.定义:对于函数f(x),若在定义域内存在实数x0,满足f(-x0)=-f(x0),则称x0为函数f(x)的“奇对称点”.
(Ⅰ)求函数f(x)=x2+2x-4的“奇对称点”;
(Ⅱ)若函数f(x)=ln(x+m)在[-1,1]上存在“奇对称点”,求实数m的取值范围.

分析 (Ⅰ)若f(x)存在“奇对称点”,则根据定义可得f(-x0)=-f(x0),代入函数解析,构造关于x0的方程,解得可得答案;
(Ⅱ)若f(x)存在“奇对称点”,则根据定义可得f(-x0)=-f(x0),代入函数解析,构造不等式,解得实数m的取值范围.

解答 解:(Ⅰ)依题意有f(-x0)=-f(x0),
即(-x02+2(-x0)-4=-(x02-2(x0)+4,…(2分)
化简得(x02=4,
解得:x0=±2,
∴函数f(x)=x2+2x-4的“奇对称点”为±2.        …(4分)
(Ⅱ)依题意函数f(x)=ln(x+m)的定义域为(-m,+∞),…(5分)
又因为函数f(x)=ln(x+m)在[-1,1]上存在“奇对称点”,
等价于关于x的方程ln(-x+m)=-ln(x+m)在[-1,1]上有解,…(7分)
即m2=x2+1在[-1,1]上有解,…(8分)
又∵x2+1∈[1,2],…(10分)
∴$\left\{\begin{array}{l}-m<-1\\ 1≤{m}^{2}≤2\end{array}\right.$.
解得:m∈(1,$\sqrt{2}$],
实数m的取值范围为(1,$\sqrt{2}$].    …(12分)

点评 本题主要考查与函数奇偶性有关的新定义,根据条件建立方程关系是解决本题的关键,考查学生的计算能力.

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