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    已知椭圆C：
    y2
    a2
    +
    x2
    b2
    =1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点连结成等腰直角三角形，直线l：x-y-b=0是抛物线x2=4y的一条切线．
    （1）求椭圆方程；
    （2）直线l交椭圆C于A、B两点，若点P满足
    OP
    +
    OA
    +
    OB
    =
    0
    （O为坐标原点），判断点P是否在椭圆C上，并说明理由．
    分析：（1）由于直线l：x-y-b=0是抛物线x2=4y的一条切线，联立消去一个未知数，令△=0即可得到b．再利用椭圆C的两焦点与短轴的一个端点连结成等腰直角三角形即可得到a=
    		2
    b    ，即可得到a．
    （2）把直线l的方程与椭圆方程联立即可解得点A，B的坐标，再利用点P满足
    OP
    +
    OA
    +
    OB
    =
    0
    （O为坐标原点）即可得到点P的坐标，判断是否满足椭圆方程即可．
    解答：解：（1）联立
    x-y-b=0
    x2=4y
    ，消去y得到x2-4x+4b=0．
    ∵直线l：x-y-b=0是抛物线x2=4y的一条切线，∴△=16-16b=0，解得b=1．
    ∵椭圆C：
    y2
    a2
    +
    x2
    b2
    =1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点连结成等腰直角三角形，
    ∴a=
    		2
    b=
    		2
    ．故所求的椭圆方程为
    y2
    2
    +x2=1    ．
    （2）由
    y=x-1
    y2
    2
    +x2=1
    得3x2-2x-1=0，解得x1=1，x2=-
    1
    3
    ，
    ∴A(1，0)，B(-
    1
    3
    ，-
    4
    3
    )    ，
    设P（x，y），∵
    OA
    +
    OB
    +
    OP
    =
    0
    ，
    ∴
    OA
    +
    OB
    +
    OP
    =(1-
    1
    3
    +x，0-
    4
    3
    +y)    =（0，0），
    解得x=-
    2
    3
    ，y=
    4
    3
    ，∴P(-
    2
    3
    ，
    4
    3
    )    ，
    把点P(-
    2
    3
    ，
    4
    3
    )    代入椭圆方程
    y2
    2
    +x2=1    ，得
    1
    2
    (
    4
    3
    )2+(-
    2
    3
    )2=
    4
    3
    ≠1    ，
    ∴点P不在椭圆C上．
    点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线与圆锥曲线相切相交问题、向量运算等是解题的关键．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
    y2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的离心率e=
    		3
    2
    ，左右两个焦分别为F1、F2．过右焦点F2且与轴垂直的
    直线与椭圆C相交M、N两点，且|MN|=1．
    （Ⅰ）求椭圆C的方程；
    （Ⅱ）设椭圆C的左顶点为A，下顶点为B，动点P满足
    PA
    •
    AB
    =m-4，（m∈R）试求点P的轨迹方程，使点B关于该轨迹的对称点落在椭圆C上．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C：
    y2
    a2
    +
    x2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的离心率为
    		6
    3
    ，过右顶点A 的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且B（-1，-3）．
    （1）求椭圆C和直线l的方程；
    （2）若圆D：x2-2mx+y2+4y+m2-4=0与直线lAB相切，求实数m的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C：
    y2
    a2
    +
    x2
    b2
    =1(a    ＞b＞0）的离心率为
    		2
    2
    ，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为2
    		2
    ．斜率为k（k≠0）的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M（0，m）．
    （1）求椭圆的标准方程；
    （2）求m的取值范围．
    （3）试用m表示△MPQ的面积S，并求面积S的最大值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C：
    y2
    a2
    +
    x2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的上、下焦点分别为F1，F2，在x轴上的两个端点分别为A，B．且四边形F1AF2B是边长为1的正方形．
    （1）求椭圆C的离心率及其标准方程；
    （2）若直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异的两点MN，且
    MP
    =3
    PN
    ，求实数m的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C：
    y2
    a2
    +
    x2
    b2
    =1（a＞b＞0）的离心率e=
    		3
    2
    ，短轴长为2．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）设A（x1，y1），B（x2，y2）为椭圆C上的不同两点，已知向量
    m
    =(
    x1
    b
    ，
    y1
    a
    )    ，
    n
    =(
    x2
    b
    ，
    y2
    a
    )    ，且
    m
    •
    n
    =0．已知O为坐标原点，试问△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

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