Question

已知函数f(x)=a-

2

x+1

．
（1）当a=4，解不等式f（x）＞3x；
（2）若函数g（x）=f（2^x）是奇函数，求a的值；
（3）若不等式f（x）＜x在[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=4时，把要解得不等式等价转化为

(3x+2)(x-1)

x+1

＜0，由此求得不等式f（x）＞3x的解集．
（2）由g（x）是奇函数，可得g（-x）+g（x）=0恒成，化简可得2a=

2

2x+1

+

2 •2x

2x+1

=2，从而求得a的值．
（3）由题意可得a＜x+

2

x+1

在 x∈[0，+∞)上恒成立，设h(x)=x+

2

x+1

，利用基本不等式求得h(x)min=2

2

-1，从而得到a的取值范围．

解答：解：（1）当a=4时，不等式f(x)＞3x?4-

2

x+1

＞3x?

3x2-x-2

x+1

＜0?

(3x+2)(x-1)

x+1

＜0
解得x＜-1 或 -

2

3

＜x＜1，
∴原不等式的解集为(-∞，-1)∪(-

2

3

，  1)．
（2）g(x)=f(2x)=a-

2

2x+1

，∵g（x）是奇函数，∴g（-x）+g（x）=0恒成立．
∴a-

2

2-x+1

+a-

2

2x+1

=0，
即 2a=

2

2x+1

+

2

2-x+1

=

2

2x+1

+

2 • 2x

2x+1

=2，∴a=1．
（3）f（x）＜x在x∈[0，+∞）上恒成立?a＜x+

2

x+1

 在 x∈[0，+∞)上恒成立，
设h(x)=x+

2

x+1

，则只需a＜h（x）_min．
∵x≥0，∴x+1≥1，∴h(x)=x+

2

x+1

=x+1+

2

x+1

-1≥2

2

-1，
当且仅当x+1=

2

x+1

，即 x=

2

-1时，h(x)min=2

2

-1，
∴a的取值范围是a＜2

2

-1．

点评：本题主要考查分式不等式的解法，函数的奇偶性的应用以及函数的恒成立问题，体现了化归与转化的数学思想，
属于中档题．