Question

【题目】已知椭圆()的右焦点为F，左顶点为A，离心率，且经过圆O:的圆心.过点F作不与坐标轴重合的直线和该椭圆交于MN两点，且直线分别与直线交于PQ两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）证明:为直角三角形.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】

根据条件椭圆过点，即，由以及，可求椭圆方程.
（2）设，，根据点共线求出点坐标，设直线的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式即可得到，即证明结论成立.

(1)由题意知，圆O:的圆心为

.∵椭圆()过圆O:的圆心，

∴.又，，∴

.∴所求椭圆的方程为.

（2）设，，可设直线l的方程为.

联立，可得.

∴

.根据AMP三点共线可得.

∴.同理可得

.∴PQ的坐标分别为，.

设直线的斜率为，直线的斜率为，则

∴. ∴为直角三角形.