Question

函数数列{f_n（x）}满足：f₁（x）=

x

1+x2

（x＞0），f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]．
（Ⅰ）求f₂（x），f₃（x）；
（Ⅱ）猜想f_n（x）的解析式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

（Ⅰ）∵f₁（x）=

x

1+x2

（x＞0），f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，
∴f₂（x）=f₁[f₁（x）]=

f1(x)

1+f12(x)

=

x 1+x2

1+ x2 1+x2

=

x

1+2x2

，
f₃（x）=f₁[f₂（x）]=

f2(x)

1+f22(x)

=

x 1+2x2

1+ x2 1+2x2

=

x

1+3x2

，…
（Ⅱ）猜想f_n（x）=

x

1+nx2

．
下面用数学归纳法证明：
1°当n=1时，猜想成立．
2°假设n=k时猜想成立，即有f_k（x）=

x

1+kx2

，
那么f_k+1（x）=f₁[f_k（x）]=

fk(x)

1+fk2(x)

=

x 1+kx2

1+ x2 1+kx2

=

x

1+(k+1)x2

，
这就是说，当n=k+1时，猜想也成立．
由1°2°可知，猜想对n∈N^*均成立．
故f_n（x）=

x

1+nx2

．