Question

(本小题9分)
如图所示，在直角梯形ABCP中，AB=BC=3，AP=7，CD⊥AP，现将沿折线CD折成60°的二面角P—CD—A，设E，F，G分别是PD，PC，BC的中点。
（I）求证：PA//平面EFG；
（II）若M为线段CD上的一个动点，问当M在什么位置时，MF与平面EFG所成角最大。

Answer 1

（I）证明见解析。
（II）M为线段CD中点时，最大。

方法一：
（I）证明：平面PAD，
                                     2分
过P作AD的垂线，垂足为O，则PO平面ABCD。
过O作BC的垂线，交BC于H，以OH，OD，OP为x
轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
是二面角P—PC—A的平面角，，
又
得

故                                                                     4分
设平面EFG的一个法向量为则
                       6分
而
故PA//平面EFG。                         7分
（II）解：设M（x，2，0），则，                                        9分
设MF与平面EFG所成角为，
则                                12分
故当取到最大值，则取到最大值，此时点M为线段CD的中点。14分
方法二：
（I）证明：取AD的中点H，连结EH，HG。                                                        2分
H，G为AD，BC的中点，∴HG//CD，又EF//CD。
∴EF//HG，
∴E，F，G，H四点共面
又∵PA//EH，EH平面EFGH，PA平面EFGH，
∴PA//平面EFG。                            7分
（II）解：过M作MO⊥平面EFG，垂足O，连结OF，

则即为MF与平面EFG所成角，因为CD//EF，
故CD//平面EFG，故CD上的点M到平面EFG的距离
MO为定长，故要使最大，只要MF最短，故当
时，即M为线段CD中点时，最大。