Question

阅读下列文字，然后回答问题：
对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数”．在实数轴R（箭头向右）上[x]是在点x左侧的第一个整数点，当x是整数时，[x]就是x．这个函数[x]叫做“取整函数”，也叫做高斯（Gauss）函数，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．例如当您在学习和使用计算器时，在用到的算法语言中，就有这种取整函数．
试求[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+[log₂4]+…+[log₂1024]的和．

Answer 1

解：根据题意，得
∵log₂1=0，∴[log₂1]=0
又∵log₂2、log₂3∈[1，2），∴[log₂2]+[log₂3]=1
∵log₂4、log₂5、…、log₂7∈[2，3），∴[log₂4]=[log₂5]=…=[log₂7]=2
依此类推，得[log₂8]=[log₂9]=…=[log₂15]=3；[log₂16]=[log₂17]=…=[log₂31]=4；
[log₂32]=[log₂33]=…=[log₂63]=5；[log₂64]=[log₂65]=…=[log₂127]=6；
[log₂128]=[log₂129]=…=[log₂255]=7；[log₂256]=[log₂257]=…=[log₂511]=8；
[log₂512]=[log₂513]=…=[log₂1023]=9
结合[log₂1024]=[10]=10，可得
[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+[log₂4]+…+[log₂1024]
=0+2×1+2²×2+2³×3+2⁴×4+2⁵×5+2⁶×6+2⁷×7+2⁸×8+2⁹×9+10
=9×2¹⁰-（2+2²+2³+…+2⁹）+10=8204．
分析：根据对数的运算法则，可得当正整数x和k满足2^k≤x≤2^k+1-1时，[log₂x]=k．依此规律，可得原式由1个0，2个1，2²个2，…，2⁹个9和1个10组成，再用等比数列求和公式和错位相减法，即可算出原式的值．
点评：本题给出高斯函数，求[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+[log₂4]+…+[log₂1024]的值，着重考查了对数的运算性质、取整函数的概念和数列的求和等知识，属于中档题．