Question

（2012•黄山模拟）用两点等分单位圆时，有相应正确关系为sinα+sin（π+α）=0；三点等分单位圆时，有相应正确关系为sinα+sin(α+

2π

3

)+sin(α+

4π

3

)=0，由此可以推知：四点等分单位圆时的相应正确关系为

sinα+sin(α+

π

2

)+sin(α+π)+sin(α+

3π

2

)=0

．

Answer 1

分析：根据题意，分析可得用两点等分单位圆时，关系式为两个角的正弦值之和为0，且第二个角与第一个角的差为圆周的

1

2

，用三点等分单位圆时，关系式为三个角的正弦值之和为0，且第二个角与第一个角的差与第三个角与第二个角的差相等，均为圆周的

1

3

，类推四点等分单位圆时，应该为四个角的正弦值之和为0，后一个角与前一个角的差为圆周的

1

4

，即可得答案．

解答：解：用两点等分单位圆时，关系为sinα+sin（π+α）=0，两个角的正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角与第一个角的差为：（π+α）-α=

2π

2

=π，
用三点等分单位圆时，关系为sinα+sin(α+

2π

3

)+sin(α+

4π

3

)=0，此时三个角的正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角与第一个角的差与第三个角与第二个角的差相等，均为有（α+

4π

3

）-（α+

2π

3

）=（α+

2π

3

）-α=

2π

3

．
依此类推，可得当四点等分单位圆时，为四个角正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角为

2π

4

+α=

π

2

+α，第三个角

π

2

+α+

2π

4

=π+α，第四个角为π+α+

2π

4

=

3π

2

+α，即其关系为sinα+sin(α+

π

2

)+sin(α+π)+sin(α+

3π

2

)=0；
故答案为sinα+sin(α+

π

2

)+sin(α+π)+sin(α+

3π

2

)=0．

点评：本题考查归纳推理，解题的关键在于分析两点等分单位圆与三点等分单位圆的正弦值的个数，角的关系，得到关系式变化的规律，注意验证得到的结论是否正确．