Question

【题目】已知函数 =f（2x）
（1）用定义证明函数g（x）在（﹣∞，0）上为减函数．
（2）求g（x）在（﹣∞，﹣1]上的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）证明： ，

∵2x﹣1≠0x≠0，∴函数g（x）的定义域{x|x∈R且x≠0}，

设x1，x2∈（﹣∞，0）且x1＜x2，

则 ，

∵x1，x2∈（﹣∞，0）且x1＜x2，

∴ 且 ，

根据函数单调性的定义知：函数g（x）在（﹣∞，0）上为减函数

（2）解：由（1）知函数g（x）在（﹣∞，0）上为减函数，

∴函数g（x）在（﹣∞，﹣1]上为减函数，

∴当x=﹣1时，

【解析】（1）设x1 ， x2∈（﹣∞，0）且x1＜x2 ， 通过作差比较g（x1），g（x2）的大小关系，根据减函数定义只需说明g（x1）＞g（x2）即可；（2）根据第（1）问结论说明g（x）在（﹣∞，﹣1]上的单调性，根据单调性即可求得其最小值．
【考点精析】关于本题考查的函数单调性的判断方法和函数单调性的性质，需要了解单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集才能得出正确答案．