在数列{an}中,a1=-14,3an-an-1=4n(n≥2,n∈N*).
(I)求证:数列{an-2n+1}是等比数列;
(II)设数列{an}的前n项和为Sn,求Sn的最小值.
分析:(I)要证数列{a
n-2n+1}是等比数列,利用已知条件构造,只要证明
=q即可
(II)由(I)可求a
n,通过比较a
n与a
n-1的大小研究数列的单调性,且通过且a
1<0,a
2<0,a
3>0,可知数列和的最小值
解答:解:(I)∵3a
n-a
n-1=4n(n≥2,n∈N
*),∴
an=(an-1+4n),∴
an+1-2(n+1)+1=[an+4(n+1)]-2(n+1)+1=an-+=(an-2n+1),(4分)
∴a
n-2n+1是以-15为首项,
为公比的等比数列.(6分)
(II)∵
an-2n+1=-15•()n-1,∴
an=-15•()n-1+2n-1,
当n≥2时,
an-an-1=2+10•()n-2>0,
∴数列a
n是单调递增数列,且a
1<0,a
2<0,a
3>0,(12分)
∴当且仅当n=2时,S
n的最小值是S
2=a
1+a
2=-14+(-2)=-16.(14分)
点评:本题利用定义构造证明等比数列,结合等比数列的定义,构造两项相除为定值的形式,做差法是比较两式大小的常用方法,通过研究数列的单调性,求数列和的最值问题,是数列问题的常考类型,属于综合性试题.