Question

已知在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，tanB=

3 ac

a2+c2-b2

（1）求角B的大小；
（2）若c=2，C=

π

4

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理的应用,正弦定理的应用

专题：解三角形

分析：（1）先由余弦定理化简tanB，求出sinB的值，即可求出B．
（2）由正弦定理先求出b，从而可求出sinA，由公式S=

1

2

bcsinA可求△ABC的面积．

解答： 解：（1）由余弦定理得cosB=

a2+c2-b2

2ac

，又tanB=

3 ac

a2+c2-b2

由以上2式得tanB=

3

2cosB

，所以sinB=

3

2

因为0＜B＜

π

2

，所以B=

π

3

．
（2）由正弦定理得：

c

sinC

=

b

sinB

，即有

2

sin π 4

=

b

sin π 3

，解得b=

6

，
sinA=sin（B+C）=sin（

π

3

+

π

4

）=

3

2

×

2

2

+

1

2

×

2

2

=

6 + 2

4

，
所以△ABC的面积为S=

1

2

bcsinA=

1

2

×

6

×2×

6 + 2

4

=

3+ 3

2

．

点评：本题主要考察了正弦定理，余弦定理以及三角形面积公式的综合应用，属于中档题．