Question

已知定义域为R的函数f（x）对任意实数x，y满足：f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y），且f（x）不是常函数，常数t＞0使f（t）=0，给出下列结论：①f(

t

2

)=

2

2

；②f（x）是奇函数；③f（x）是周期函数且一个周期为4t；④f（x）在（0，2t）内为单调函数．其中正确命题的序号是

③

．

Answer 1

分析：根据题意，在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）中，令y=0可得2f（x）=2f（x）f（0），进而分析可得f（0）=1，依次分析4个命题，对于①、令x=y=

t

2

，可得f（t）+f（0）=2f（

t

2

）²，易得f（

t

2

）²=±

2

2

，故①错误，对于②、令x=0，可得f（y）+f（-y）=2f（0）f（y）=2f（y），分析可得f（y）+f（-y）=0不恒成立，f（x）不是奇函数，故②错误，对于③、令y=t可得，在f（x+t）+f（x-t）=2f（x）f（t）=0，可得f（x+t）=-f（x-t），进而可得f（x+3t）=-f（x+t）=f（x-t），即f（x+3t）=f（x-t），可以判断③正确，对于④、根据题意，无法判断f（x）的单调性，则④错误；综合可得答案．

解答：解：根据题意，在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）中，
令y=0可得，2f（x）=2f（x）f（0），又由f（x）不是常函数，即f（x）=0不恒成立，则f（0）=1，
依次分析4个命题可得：
对于①、在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）中，令x=y=

t

2

，可得f（t）+f（0）=2f（

t

2

）²，
结合f（0）=1，f（t）=0，可得f（

t

2

）²=

1

2

，则可得f（

t

2

）²=±

2

2

，故①错误，
对于②、在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）中，令x=0，可得f（y）+f（-y）=2f（0）f（y）=2f（y），f（y）+f（-y）=0不恒成立，f（x）不是奇函数，故②错误，
对于③、在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）中，令y=t可得，在f（x+t）+f（x-t）=2f（x）f（t）=0，
即f（x+t）=-f（x-t），则f（x+3t）=-f（x+t）=f（x-t），即f（x+3t）=f（x-t），则f（x）是周期函数且一个周期为4t，③正确，
对于④、根据题意，无法判断f（x）的单调性，则④错误；
故答案为③．

点评：本题考查抽象函数的应用，关键是根据题意，在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）中，令y=0，求出f（0）的值，注意f（x）不是常函数，应该把f（0）=0舍去．