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【题目】已知抛物线Cx2=4y的焦点为F,过点P-22)的直线l与抛物线C交于AB两点.

1)当点PAB的中点时,求直线AB的方程;

2)求|AF||BF|的最小值.

【答案】(1)x+y=0;(2

【解析】

1)解法1:利用平方差法,求得直线的斜率,即可求解直线的方程;

解法2:设l的方程为y=kx+2+2,联立方程组,利用根与系数的关系,求得,即可求解直线的方程.

2)解法1:由抛物线定义可知|AF|=y1+1|BF|=y2+1,得到|AF||BF|=y1y2+y1+y2+1,联立方程组,利用方程的根和系数的关系,代入即可求解;

解法2:由抛物线定义可知|AF|=y1+1|BF|=y2+1,化简|AF||BF|=y1y2+y1+y2+1,利用抛物线的性质,即可求解.

1)解法1:设Ax1y1),Bx2y2),

显然x1x2,两式相减得,∴k=-1

所以直线AB的方程为y-2=-x+2).即x+y=0

解法2:设Ax1y1),Bx2y2),显然直线l有斜率,

l的方程为y=kx+2+2

联立方程,消去x整理得y2-4k2+k+1y+4k+12=0

解得k=-1k=0明显不成立),

所以直线AB的方程为y-2=-x+2).即x+y=0

2)解法1:显然直线l有斜率,设l的方程为y=kx+2+2

Ax1y1),Bx2y2),由抛物线定义可知|AF|=y1+1|BF|=y2+1

所以|AF||BF|=y1+1)(y2+1=y1y2+y1+y2+1

联立方程,消去x整理得y2-4k2+k+1y+4k+12=0

所以

所以当时,|AF||BF|取得最小值,且最小值为

解法2:由抛物线定义可知|AF|=y1+1|BF|=y2+1

所以|AF||BF|=y1+1)(y2+1=y1y2+y1+y2+1

由(1)知x1x2=-8k+1),得y1+y2=kx1+x2+4+4=4kk+1+4

所以

所以当时,|AF||BF|取得最小值为

练习册系列答案
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参考公式:.

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