【题目】已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,过点P(-2,2)的直线l与抛物线C交于A,B两点.
(1)当点P为A、B的中点时,求直线AB的方程;
(2)求|AF||BF|的最小值.
【答案】(1)x+y=0;(2)
【解析】
(1)解法1:利用平方差法,求得直线的斜率,即可求解直线的方程;
解法2:设l的方程为y=k(x+2)+2,联立方程组,利用根与系数的关系,求得,即可求解直线的方程.
(2)解法1:由抛物线定义可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,得到|AF||BF|=y1y2+(y1+y2)+1,联立方程组,利用方程的根和系数的关系,代入即可求解;
解法2:由抛物线定义可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,化简|AF||BF|=y1y2+(y1+y2)+1,利用抛物线的性质,即可求解.
(1)解法1:设A(x1,y1),B(x2,y2),,
显然x1≠x2,两式相减得,∴k=-1,
所以直线AB的方程为y-2=-(x+2).即x+y=0.
解法2:设A(x1,y1),B(x2,y2),显然直线l有斜率,
设l的方程为y=k(x+2)+2,
联立方程,消去x整理得y2-4(k2+k+1)y+4(k+1)2=0,
由解得k=-1(k=0明显不成立),
所以直线AB的方程为y-2=-(x+2).即x+y=0.
(2)解法1:显然直线l有斜率,设l的方程为y=k(x+2)+2
设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线定义可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,
所以|AF||BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1,
联立方程,消去x整理得y2-4(k2+k+1)y+4(k+1)2=0,
∴,,
所以,
所以当时,|AF||BF|取得最小值,且最小值为.
解法2:由抛物线定义可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,
所以|AF||BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1,
,
由(1)知x1x2=-8(k+1),得,y1+y2=k(x1+x2+4)+4=4k(k+1)+4,
所以
所以当时,|AF||BF|取得最小值为.
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【题目】在五边形AEBCD中,,C,,,(如图).将△ABE沿AB折起,使平面ABE⊥平面ABCD,线段AB的中点为O(如图).
(1)求证:平面ABE⊥平面DOE;
(2)求平面EAB与平面ECD所成的锐二面角的大小.
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【题目】如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,底面ABCD,,,E、F分别是PC和AB的中点.
(1)证明:平面PAD;
(2)若,求PD与平面PBC所成角的正弦值.
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【题目】已知关于x的一元二次函数f(x)=ax2﹣2bx+8.
(1)设集合P={1,2,3}和Q={2,3,4,5},分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b,求函数y=f(x)在区间(﹣∞,2]上有零点且为减函数的概率?
(2)设集合P=[1,3]和Q[2,5],分别从集合P和Q中随机取一个实数作为a和b,求函数y=f(x)在区间(﹣∞,2]上有零点且为减函数的概率?
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【题目】在一次调查中,甲、乙、丙、丁四位同学阅读量有如下关系:同学甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同,同学甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和,丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和.那么这四名同学按阅读量从大到小的排序依次为________.
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【题目】为推动更多人阅读,联合国教科文组织确定每年的4月23日为“世界读书日”设立目的是希望居住在世界各地的人,无论你是年老还是年轻,无论你是贫穷还是富裕,都能享受阅读的乐趣,都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的思想大师们,都能保护知识产权.为了解不同年龄段居民的主要阅读方式,某校兴趣小组在全市随机调查了200名居民,经统计这200人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为3:1,将这200人按年龄分组,其中统计通过电子阅读的居民得到的频率分布直方图如图所示,
(1)求a的值及通过电子阅读的居民的平均年鹼;
(2)把年龄在第1,2,3组的居民称为青少年组,年龄在第4,5组的居民称为中老年组,若选出的200人中通过纸质阅读的中老年有30人,请完成下面2×2列联表,并判断是否有97.5%的把握认为阅读方式与年齡有关?
参考公式:.
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【题目】如图,△ABC为正三角形,且BC=CD=2,CD⊥BC,将△ABC沿BC翻折.
(1)当AD=2时,求证:平面ABD⊥平面BCD;
(2)若点A的射影在△BCD内,且直线AB与平面ACD所成角为60°,求AD的长.
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【题目】已知椭圆的离心率,过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为3
(1)求椭圆的方程;
(2)已知P为直角坐标平面内一定点,动直线l:与椭圆交于A、B两点,当直线PA与直线PB的斜率均存在时,若直线PA与PB的斜率之和为与t无关的常数,求出所有满足条件的定点P的坐标.
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