【题目】(1)已知函数,函数的导函数为.
①求函数的定义域;
②求函数的零点个数.
(2)给出如下定义:如果是曲线和曲线的公共点,并且曲线在点处的切线与曲线在点处的切线重合,则称曲线与曲线在点处相切,点叫曲线和曲线的一个切点.试判断曲线:与曲线:是否在某点处相切?若是,求出所有切点的坐标;若不是,请说明理由.
【答案】(1)①定义域②在定义域上的零点个数
(2)见解析
【解析】
(1)①由得,即可得定义域; ②先由题意得 ,再构造函数,讨论或,研究函数F(x)单调性,即可得出其零点个数;
(2)由(1)中②知在定义域上有且只有0一个零点,则方程在定义域上有且只有1这一个解,从而可得公共点为,分别求函数f(x)、g(x)在处的导数,即可验证该点为公共切点.
(1)①令得 即定义域
②由题意得
其中是增函数
若 则有下表
0 | |||
- | 0 | + | |
- | 0 | + | |
↘ | 极小值 | ↗ |
∴在定义域上有且只有0一个零点
若
∵在上是增函数
且,
∴存在唯一的,使得,且有下表
- | 0 | + | |
- | 0 | + | |
↘ | 极小值 | ↗ |
∴ (i)
令 则
0 | |||
- | 0 | + | |
↘ | 极小值 | ↗ |
∴,
∴,,,
∴ (ii)
∴由(i)上方表格的最后一行及()()得在定义域上有且只有两个零点
综上,在定义域上的零点个数
(2)由(1)中②知在定义域上有且只有0一个零点
∴方程在定义域上有且只有1这一个解
又∵
∴曲线与曲线有且只有一个公共点
又∵,
∴,
∴曲线与曲线在处的切线方程均为即
∴曲线与曲线仅在一个点处相切,这个点的坐标为
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某校高二年级学生会有理科生4名,其中3名男同学;文科生3名,其中有1名男同学.从这7名成员中随机抽4人参加高中示范校验收活动问卷调查.
(Ⅰ)设为事件“选出的4人中既有文科生又有理科生”,求事件的概率;
(Ⅱ)设为选出的4人中男生人数与女生人数差的绝对值,求随机变量的分布列和数学期望.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某商场经销某商品,顾客可采用一次性付款或分期付款购买.根据以往资料统计,顾客采用一次性付款的概率是经销一件该商品,若顾客采用一次性付款,商场获得利润200元若顾客采用分期付款,商场获得利润250元.
(1)求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率
(2)求3位顾客每人购买1件该商品,商场获得利润不超过650元的概率
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】利用独立性检验的方法调查高中生性别与爱好某项运动是否有关,通过随机调查200名高中生是否爱好某项运动,利用列联表,由计算可得,参照下表:
0.01 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5,024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
得到的正确结论是( )
A. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
B. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
C. 在犯错误的概率不超过0.5%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”
D. 在犯错误的概率不超过0.5%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】近期中央电视台播出的《中国诗词大会》火遍全国,下面是组委会在选拔赛时随机抽取的100名选手的成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如下所示.
题号 | 分组 | 频数 | 频率 |
第1组 | 0.100 | ||
第2组 | ① | ||
第3组 | 20 | ② | |
第4组 | 20 | 0.200 | |
第5组 | 10 | 0.100 | |
第6组 | 100 | 1.00 |
(1)请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据,再完成如下的频率分布直方图;
(2)组委会决定在5名(其中第3组2名,第4组2名,第5组1名)选手中随机抽取2名选手接受考官进行面试,求第4组至少有1名选手被考官面试的概率.
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