Question

两个二次函数f（x）=x²+bx+c与g（x）=-x²+2x+d的图象有唯一的公共点P（1，-2）．
（Ⅰ）求b，c，d的值；
（Ⅱ）设F（x）=（f（x）+m）•g′（x），若F（x）在R上是单调函数，求m的范围，并指出是单调递增函数，还是单调递减函数．

Answer 1

分析：（I）由题意可得（1，-2）为两抛物线的顶点，结合二次函数的性质可求b，c，d
（II）由（I）可求f（x），g（x），代入可求F（x）=（f（x）+m）•g′（x），对函数F（x）求导，然后结合二次函数的性质可判断F‘（x）的正负，从而可判断函数的单调性

解答：解：（I）由题意可得（1，-2）为两抛物线的顶点
∴

g(1)=1+d=-2 - 1 2 b=1 4c-b2 4 =1

∴d=-3，b=-2，c=2
（II）由（I）可得f（x）=x²-2x+2，g（x）=-x²+2x-3
∴F（x）=（f（x）+m）•g′（x）
=（x²-2x+2+m）（-2x+2）
∵F′（x）=-6x²+12x-（2m+8）
∵F（x）在R上是单调函数，
∴F′（x）=-6x²+12x-（2m+8）≤0恒成立
∴△=144-24（2m+8）≤0
∴m≥-1
函数是单调递减的函数

点评：本题主要考查了二次函数的对称性、函数的导数与函数的单调性的关系的应用，解题的关键是熟练应用二次函数的性质