Question

19．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的一个顶点为B（0，4），离心率e=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，直线l交椭圆于M、N两点．
（1）若直线l的方程为y=x-4，求弦MN的长；
（2）如果MN的中点为Q，且$\overrightarrow{BF}$=2$\overrightarrow{FQ}$，（F为椭圆的右焦点），求直线l方程的一般式．

Answer 1

分析 （1）通过椭圆的顶点可知b=4，利用离心率计算可知a²=20，进而可知椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$，通过联立直线l与椭圆方程计算可知交点横坐标x=0或者x=$\frac{40}{9}$，利用两点间距离公式计算即得结论；
（2）通过（1）可知$\overrightarrow{BF}$=（2，-4），通过设Q（x，y），利用$\overrightarrow{BF}$=2$\overrightarrow{FQ}$可知Q（3，-2），从而可设直线l的方程为y+2=k（x-3），联立直线l与椭圆方程，结合中点坐标公式计算即得结论．

解答 解：（1）依题意可知b=4，
又∵$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$=1-$\frac{{4}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{5}$，
∴a²=20，
∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$，
∵直线l的方程为y=x-4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-y-4=0}\\{\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{16}=1}\end{array}\right.$，消去y整理得：$\frac{9}{80}$x²-$\frac{1}{2}$x=0，
解得：x=0或者x=$\frac{40}{9}$，
∴弦MN的长为$\sqrt{2}$•$\sqrt{（0-\frac{40}{9}）^{2}}$=$\frac{40}{9}$$\sqrt{2}$；
（2）由（1）可知椭圆的右焦点F（2，0），则$\overrightarrow{BF}$=（2，-4），
设Q（x，y），由$\overrightarrow{BF}$=2$\overrightarrow{FQ}$可知：（2，-4）=2（x-2，y-0），
∴Q（3，-2），
又∵Q为MN的中点，
∴可设直线l的方程为：y+2=k（x-3），
联立直线l与椭圆方程，消去y整理得：（4+5k²）x²-10k（3k+2）x+5（3k+2）²-80=0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=$\frac{10k（3k+2）}{4+5{k}^{2}}$，
于是$\frac{10k（3k+2）}{4+5{k}^{2}}$=6，解得：k=$\frac{6}{5}$，
∴直线l方程为：6x-5y-28=0．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．