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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

    PA、PB、PC两两垂直；②P到△ABC三边的距离相等；③PA⊥BC，PB⊥AC；④PA、PB、PC与平面ABC所成的角相等；⑤平面PBC、PAB、PAC与平面ABC所成的锐二面角相等；⑥PA=PB=PC；⑦∠PAB=∠PAC，∠PBA=∠PBC，∠PCB=∠PCA；⑧AC⊥面PBO，AB⊥面PCO．若在上述8个序号中任意取出两个作为条件，其中一个一定能得出O为△ABC的垂心、另一个一定能得出O为△ABC的外心的概率为


    1. A.
      数学公式
    2. B.
      数学公式
    3. C.
      数学公式
    4. D.
      数学公式
    A
    分析：先跟据条件判断出八个命题中得出垂心的有三个，外心的有两个，内心的有三个，再代入等可能时间的概率计算公式即可得到答案．
    解答：对于①

    由PA⊥PB，PA⊥PC?PA⊥平面PBC?PA⊥BC，
    又PO⊥BC，?BC⊥平面PAO?BC⊥AO?O在BC边的高线上；
    同理：O在AC边的高线上，
    所以O为垂心．
    对于②：因为：PE=PF=PD?OD=OE=OF?O为三角形的内心．
    对于③：因为：PA⊥BC，PO⊥BC，?BC⊥平面PAO?BC⊥AO，O在BC边的高线上；
    同理：O在AC边的高线上，
    所以O为垂心．
    对于④：因为：∠PAO=∠PBO=∠PCO?AO=BO=CO?O为三角形的外心．
    对于⑤：∠PEO=∠PFO=∠PDO?OD=OE=OF?O为三角形的内心．
    对于⑥：PA=PB=PC?AO=BO=CO?O为三角形的外心．
    对于⑦：∠PAB=∠PAC?点P的射影在∠CAB的角平分线上；同理P的射影也在∠ABC的角平分线上；所以：O为三角形的内心．
    对于⑧：AC⊥面PBO?AC⊥PO，O在AC边的高线上，同理：O在BA边的高线上；所以O为垂心．
    即可以得出垂心的有三个，外心的有两个．
    所以：在上述8个序号中任意取出两个作为条件，其中一个一定能得出O为△ABC的垂心、另一个一定能得出O为△ABC的外心的概率P==．
    故选：A．
    点评：本题是对立体几何知识以及三角形五心，等可能时间概率的计算等知识的综合考察．解决问题的关键在于得到八个命题中得出垂心的有三个，外心的有两个，内心的有三个．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网在三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，H是△ABC的垂心
    求证：（1）PH⊥底面ABC   （2）△ABC是锐角三角形．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，PA、PB、PC两两垂直，PA=PB=PC，G是△PAB的重心，E是BC上的一点，且BE=
    1
    3
    BC，F是PB上的一点，且PF=
    1
    3
    PB．
    求证：
    （1）GF⊥平面PBC；
    （2）FE⊥BC；

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA=1，PB=2，PC=3，则点P到△ABC的重心G的距离为
    		14
    3
    		14
    3
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，在三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA=6，PB=2，PC=1．设M是底面ABC内一点，定义f（M）=（m，n，p），其中m，n，p分别是三棱锥M-PAB，三棱锥M-PBC，三棱锥M-PCA的体积．若f（M）=（
    5
    3
    ，x，y），且
    1
    x
    +
    a
    y
    ≥27恒成立，则正实数a的最小值为
    4
    4
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网P为△ABC所在平面外一点，且PA、PB、PC两两垂直，则下列命题：
    ①PA⊥BC；
    ②PB⊥AC；
    ③PC⊥AB；
    ④AB⊥BC．
    其中正确的个数是
     
    ．

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