Question

（2012•西城区二模）已知曲线C的方程是(x-

|x|

x

)2+(y-

|y|

y

)2=8，给出下列三个结论：
①曲线C与两坐标轴有公共点；
②曲线C既是中心对称图形，又是轴对称图形；
③若点P，Q在曲线C上，则|PQ|的最大值是6

2

．
其中，所有正确结论的序号是

②③

．

Answer 1

分析：先分类讨论化简方程，再根据方程对应轭曲线，即可得到结论．

解答：解：当x＞0，y＞0时，方程是（x-1）²+（y-1）²=8；
当 x＞0，y＜0 时，方程是（x-1）²+（y+1）²=8；
当 x＜0，y＞0 时，方程是（x+1）²+（y-1）²=8；
当 x＜0，y＜0 时，方程是（x+1）²+（y+1）²=8
由于x≠0且y≠0，所以①不正确；
曲线C既是中心对称图形，又是轴对称图形，对称中心为（0，0），对称轴为x，y轴，故②正确；
点P，Q在曲线C上，当且仅当P，Q与圆弧所在圆心共线时取得最大值，|PQ|的最大值是圆心距加两个半径，即6

2

，故③正确．
综上知②③
故答案为：②③

点评：本题考查曲线与方程的概念，体现分类讨论、数形结合的数学思想，属于中档题．