Question

已知三点A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），C（cosγ，sinγ），若向量

OA

+K

OB

+(2-K)

OC

=

0

（k为常数且0＜k＜2，O为坐标原点，S_△BOC表示△BOC的面积）
（1）求cos（β-γ）的最值及相应的k的值；
（2）求cos（β-γ）取得最大值时，S_△BOC：S_△AOC：S_△AOB．

Answer 1

分析：（1）将已知中的向量关系变形为等式的一边有一个向量，将等式平方求出cos（β-γ）的函数式，分离常数，利用二次函数的最值求出范围
（2）将k值代入向量等式求出三个向量的夹角，又三个向量的模相等，得到三个三角形全等，得到三角形的面积比．

解答：解：（1）由

OA

+K

OB

+(2-K)

OC

=

0

得k

OB

+(2-k)

OC

=-

OA

两边平方，得k²+（2-k）²+2k（2-k）cos（β-γ）=1
整理得cos(β-γ)=

2k2-4k+3

2k2-4k

=1+

3

2(k2-2k)

当k∈（0，2）时，k²-2k∈[-1，0），

3

2(k2-2k)

∈(-∞，-

3

2

]，1+

3

2(k2-2k)

∈(-∞，-

1

2

]
又cos（β-γ）∈[-1，1]，
∴cos(β-γ)∈[-1，-

1

2

]
当k=1时，cos（β-γ）取得最大值-

1

2

；
当k=

1

2

或k=

3

2

时，cos（β-γ）取得最小值-1．

（2）由（1）得，cos（β-γ）取得最大值-

1

2

时，k=1
此时，

OA

+

OB

+

OC

=

0

且

OB

与

OC

的夹角为120°．
又|

OA

|=|

OB

|=|

OC

|，(

OA

+

OB

)2=

OA

2+

OB

2+2

OA

•

OB

=1?

OA

•

OB

=-

1

2

∴

OA

与

OB

的夹角为120°．
故S_△BOC：S_△AOC：S_△AOB=1：1：1．

点评：本题考查向量的运算法则、两角和的公式、分离常数求二次函数的值域、利用向量的数量积求出向量的夹角．