Question

在△ABC中，中线长AM＝2.

（1）若＝－2，求证：＋＋＝0；
（2）若P为中线AM上的一个动点，求·(＋)的最小值．

Answer 1

（1）见解析；（2）最小值－2.

解析试题分析：（1） ∵M是BC的中点，∴＝ (＋)．代入＝－2，得＝－－，即＋＋＝0
（2）若P为中线AM上的一个动点，若AM＝2，我们易将·(＋),转化为－2||||=2(x－1)²－2的形式，然后根据二次函数在定区间上的最值的求法，得到答案．
试题解析：（1）证明：∵M是BC的中点，
∴＝ (＋)              ..3分
代入＝－2，得＝－－，          .2分
即＋＋＝0               1分
（2）设||＝x，则||＝2－x(0≤x≤2)            .1分
∵M是BC的中点，∴＋＝2         2分
∴·(＋)＝2·＝－2||||
＝－2x(2－x)＝2(x²－2x)＝2(x－1)²－2，              2分
当x＝1时，取最小值－2                ..1分
考点：平面向量数量积的运算.