Question

若函数f（x）=ax³+bx²+cx+d满足f（0）=f（x₁）=f（x₂）=0（0＜x₁＜x₂），且在区间[x₂，+∞）上单调递增，则实数b的取值范围是    ．

Answer 1

【答案】分析：由已知，0，x₁，x₂ 是函数f（x）=ax³+bx²+cx+d的三个零点，可以画出它的大致图象．分两种情况．结合图象分析求解．
解答：解：：∵f（0）=0∴d=0，
∴f（x）=ax³+bx²+cx=x（ax²+bx+c），
又f（x₁）=f（x₂）=0，且0＜x₁＜x₂，∴x₁，x₂是ax²+bx+c=0两根，且a≠0．
由韦达定理x₁+x₂=-＞0，①
当a＞0时，f（x）=ax³+bx²+cx+d的大致图象为：
由图，符合f（x）在（x₂，+∞）上是增函数，∴a＞0满足条件由①得，b＜0
当a＜0时，f（x）=ax³+bx²+cx+d的大致图象为：
此时f（x）在（x₂，+∞）上不是增函数，不合题意．

故答案为：b＜0
点评：本题主要考查了三次函数的图象，及函数单调区间的概念．数形结合的思想方法起到了重要作用．