Question

已知椭圆+=1（a＞b＞0）的上顶点为A（0，3），左、右焦点分别为B、C，离心率为．
（1）试求椭圆的标准方程；
（2）若直线PC的倾斜角为α，直线PB的倾斜角为β，当β-α=时，求证：①点P一定在经过A，B，C三点的圆M上；②PA=PB+PC．

Answer 1

解：（1）因为b=3，=，b²+c²=a²，
解得a²=12，b²=9，c²=3，所以椭圆的标准方程为+=1．
（2）①因为B（-，0），C（，0），A（0，3），所以△ABC为等边三角形．
经过A，B，C三点的圆M的方程为x²+（y-1）²=4，即x²+y²-2y=3．
设点P（x，y），则k_PC=tanα=，k_PB=tanβ=．
因为β-α=，所以tan（β-α）=-．因为tan（β-α）==，
所以=-．化简得x²+y²-2y=3．
所以点P一定在经过A，B，C三点的圆M上．
②PA²=x²+（y-3）²=x²+y²-6y+9，因为x²+y²=3+2y，所以PA²=12-4y．
PB²=（x-）²+y²=2y+6-2x，PC²=（x+）²+y²=2y+6+2x，
2PB×PC=2=4，因为3x²=9-3y²+6y，
所以2PB×PC=4，由于y＜0，所以2PB×PC=-8y，
从而（PB+PC）²=PB²+2PB×PC+PC²=4y+12-8y=12-4y=PA²．
所以PA=PB+PC．
分析：（1）由b=3，=，b²+c²=a²能够推导出椭圆的标准方程．
（2）①由题设条件知△ABC为等边三角形．由此能够推导出点P一定在经过A，B，C三点的圆M上．
②PA²=x²+（y-3）²=x²+y²-6y+9，PB²=（x-）²+y²=2y+6-2x，PC²=（x+）²+y²=2y+6+2x，由此能够推导出PA=PB+PC．
点评：本题考查椭圆知识的综合运用，解题要注意公式的灵活运用．