Question

16．若关于x的不等式x²+36+|x³-6x²|≥ax在[2，10]上恒成立，则a的取值范围是（-∞，12]．

Answer 1

分析 分离参数a，把不等式变形为a≤x+$\frac{36}{x}$+|x²-6x|，只需a小于等于x+$\frac{36}{x}$+|x²-6x|的最小值即可

解答 解：关于x的不等式x²+36+|x³-6x²|≥ax在[2，10]上恒成立，
∴a≤x+$\frac{36}{x}$+|x²-6x|，
而x+$\frac{36}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{36}{x}}$=12，当且仅当x=6∈[2，10]时取等号，
且|x²-6x|≥0，等号当且仅当x=6∈[1，10]时成立；
所以x+$\frac{36}{x}$+|x²-6x||的最小值为12，等号当且仅当x=6∈[2，10]时成立．
故实数a的取值范围是（-∞，12]．
故答案为：（-∞，12]．

点评 本题主要考查了函数恒成立问题以及绝对值不等式的解法、基本不等式在最值问题中的应用，本题中要注意等号须同时成立．