Question

对任意的实数m，直线y=mx+b与椭圆x²+4y²=1恒有公共点，则b的取值范围是（　　）

• A．(-

  1

  2

  ，

  1

  2

  )
• B．[-

  1

  2

  ，

  1

  2

  ]
• C．[-2，2]
• D．（-2，2）

Answer 1

分析：由直线y=mx+b与椭圆x²+4y²=1恒有公共点，知由其联立方程组恒有解，消掉y得关于x的二次方程，由△≥0对任意m恒成立可得b的范围．

解答：解：由

y=mx+b x2+4y2=1

，得（1+4m²）x²+8mbx+4b²-1=0，
因为直线y=mx+b与椭圆x²+4y²=1恒有公共点，
所以△=64m²b²-（1+4m²）（4b²-1）≥0，即4b²≤4m²+1对任意m恒成立，
所以4b²≤1，解得-

1

2

≤b≤

1

2

，
故选B．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查函数恒成立问题，考查学生解决问题的能力．