Question

已知函数f（x）=lnx+x，g（x）=ax²（a≠0）
（1）若a=1，求函数H（x）=f（x）-g（x）的单调区间；
（2）若函数H（x）=f（x）-g（x）在其定义域上不单调，求实数a的取值范围；
（3）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象在公共点P处有相同的切线，求实数a的值并求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）a=1时写出H（x）的表达式，求导数H′（x），然后在定义域内解不等式H′（x）＞0，H′（x）＜0即可；
（2）H（x）在定义域内不单调，则函数H′（x）在（0，+∞）内有零点，且在零点两侧函数值异号，据此得一不等式组，解出即可；
（3）设P（x₀，y₀），则lnx₀+x₀=ax02，f′（x₀）=g′（x₀），联立消掉a可得关于x₀的方程，构造函数，根据函数单调性可求得唯一x₀值，进而可求a值；

解答：解：（1）当a=1时，H（x）=f（x）-g（x）=lnx+x-x²，定义域为（0，+∞），
H′（x）=

1

x

+1-2x=-

(2x+1)(x-1)

x

，
当0＜x＜1时，H′（x）＞0，当x＞1时，H′（x）＜0，
所以函数H（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）；
（2）H（x）=lnx+x-ax²，H′（x）=

1

x

+1-2ax=

1+x-2ax2

x

，
因为H（x）在定义域内不单调，则函数h（x）=1+x-2ax²在（0，+∞）内有零点，且在零点两侧函数值异号，
又h（0）=1＞0，则有

a＜0 1 4a ＞0 △=1-4×(-2a)×1＞0

或

a＞0 h(0)＞0

，解得a＞0．
故实数a的取值范围为（0，+∞）．
（3）设P（x₀，y₀），则lnx₀+x₀=ax02①，f′（x₀）=g′（x₀），即

1

x0

+1=2ax0，化简得x₀+1=2ax02②
联立①②消a得，lnx₀+

1

2

x0-

1

2

=0，
令φ（x）=lnx+

1

2

x-

1

2

，易知φ（x）=lnx+

1

2

x-

1

2

在（0，+∞）上单调递增，又φ（1）=0，
所以lnx+

1

2

x-

1

2

=0有唯一解1，即x₀=1，则y₀=f（1）=1，g（1）=a=1，
故P（1，1），a=1．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性及导数的几何意义，考查学生灵活运用所学知识分析问题解决问题的能力，属难题．