Question

如图所示，已知椭圆＝1(a＞b＞0)的右焦点为F₂(1,0)，点A在椭圆上．

(1)求椭圆方程；
(2)点M(x₀，y₀)在圆x²＋y²＝b²上，点M在第一象限，过点M作圆x²＋y²＝b²的切线交椭圆于P、Q两点，问||＋||＋||是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由．

Answer 1

（1）＝1（2）4

(1)由右焦点为F₂(1,0)，可知c＝1.设左焦点为F₁，则F₁(－1,0)，又点A在椭圆上，则
2a＝|AF₁|＋|AF₂|＝＋＝4，
∴a＝2，b＝，即椭圆方程为＝1；
(2)设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，则＝1(|x₁|≤2)，
|PF₂|²＝(x₁－1)²＋＝(x₁－1)²＋3＝(x₁－4)²，
∴|PF₂|＝(4－x₁)＝2－x₁.
连结OM，OP，由相切条件知：
|PM|²＝|OP|²－|OM|²＝＋－3＝＋3－3＝，
显然x₁＞0，∴|PM|＝x₁.
∴|PF₂|＋|PM|＝2－＋＝2.同理|QF₂|＋|QM|＝2－＋＝2.
∴||＋||＋||＝2＋2＝4为定值．