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【题目】已知定义在实数集上的奇函数,且当时, .

(Ⅰ)求函数上的解析式;

(Ⅱ)判断上的单调性;

(Ⅲ)当取何值时,方程上有实数解?

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析;(Ⅲ) .

【解析】试题分析:(Ⅰ)由上的奇函数,得,且设,则 即可得解;

(Ⅱ)设, 则,判断正负即可下结论;

(Ⅲ)由函数单调性求得的值域即可.

试题解析:

(Ⅰ)因为上的奇函数,

所以,

,则,

因为,

所以时, ,

所以.

(Ⅱ)证明:设,

,

因为,

所以,

所以,

所以上为减函数.

(Ⅲ)因为上为减函数,

所以,

同理, 上时, ,

,

所以当时方程上有实数解.

点睛: 证明函数单调性的一般步骤:(1)取值:在定义域上任取,并且(或);(2)作差: ,并将此式变形(要注意变形到能判断整个式子符号为止);(3)定号:判断的正负(要注意说理的充分性),必要时要讨论;(4)下结论:根据定义得出其单调性.

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