Question

【题目】将正方形沿对角线折成直二面角，有如下四个结论：

①；

②是等边三角形；

③与平面所成的角为；

④与所成的角为.

其中错误的结论是____________.

Answer 1

【答案】③

【解析】

作出此直二面角的图象，由图形中所给的线面位置关系对四个命题逐一判断，即可得出正确结论．

作出如图的图象，其中A﹣BD﹣C＝90°，E是BD的中点，可以证明出∠AED＝90°即为此直二面角的平面角

对于命题①，由于BD⊥面AEC，故AC⊥BD，此命题正确；

对于命题②，在等腰直角三角形AEC中可以解出AC等于正方形的边长，故△ACD是等边三角形，此命题正确；

对于命题③AB与平面BCD所成的线面角的平面角是∠ABE＝45°，故AB与平面BCD成60°的角不正确；

对于命题④可取AD中点F，AC的中点H，连接EF，EH，FH，由于EF，FH是中位线，可证得其长度为正方形边长的一半，而EH是直角三角形的中线，其长度是AC的一半即正方形边长的一半，故△EFH是等边三角形，由此即可证得AB与CD所成的角为60°；

综上知①②④是正确的

故答案为：③