精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知抛物线y=ax2+c交x轴于A、B两点,且AB=5,交y轴于点C(0,
75
16
).
(1)求抛物线的解析式
(2)若点D为抛物线在x轴上方的任意一点,求tan∠DAB+tan∠DBA为一定值;
(3)若点D(-1.5,m)是抛物线y=ax2+c上一点.
①判断△ABD的形状并加以证明.
②若M是线段AD上以动点(不与A、D重合),N是线段AB上一点,设AN=t,t为何值时,线段AD上的点M总存在两个不同的位置使∠BMN=∠BDA
考点:二次函数的性质
专题:函数的性质及应用
分析:(1)根据y=ax2+c交y轴于C(0,
75
16
),可得c=
75
16
,再根据对称轴为y轴,AB=5,可得B(
5
2
,0),A(-
5
2
,0),再根据待定系数法可求抛物线的解析式;     
(2)设D(x,-
3
4
x2+
75
16
),过D作DE⊥AB于E点.根据正切函数可得tan∠DAB+tan∠DBA是一个定值.
(3)①将D(-15,m)代入函数的表达式中中,可得D点坐标,再根据勾股定理得到BD=5=AB,根据等腰三角形的判断即可得到△ABD是等腰三角形.
②设AM=x,则DM=
10
-x,根据相似三角形的判定和性质可得关于x的方程,根据根的判别式和实际意义可得t的取值范围.
解答: 解:(1)∵y=ax2+c交y轴于C(0,
75
16
),
∴c=
75
16

∵对称轴为y轴,AB=5,
∴B(
5
2
,0),A(-
5
2
,0),
将B(
5
2
,0)代入y=ax2+
75
16

解得a=-
3
4

∴y=-
3
4
x2+
75
16
;        

(2)设D(x,-
3
4
x2+
75
16
),
如图,过D作DE⊥AB于E点.
∴tan∠DAB+tan∠DBA
=
DE
AE
+
DE
BE

=
-
3
4
x
2
+
75
16
t+
5
2
+
-
3
4
x
2
+
75
16
5
2
-t

=
15
4

∴tan∠DAB+tan∠DBA是一个定值.

(3)①△ABD是等腰三角形.理由如下:
将D(-1.5,m)代入y=-
3
4
x2+
75
16
中,
可得m=3,
∴D(-
3
2
,3),
∴DE=3,BE=
5
2

∴BD=
DE2+BE2
=5=AB,
∴△ABD是等腰三角形.
②由①可得,AD=
10

设AM=x,则DM=
10
-x,
∵AB=BD,
∴∠BAD=∠BDA,
∵∠BMN=∠BDA,
∴∠BMD+∠AMN=∠BMD+∠DBM,
∴∠AMN=∠DBM,
∴△AMN∽△DBM,
∵AN=t,
AM
DB
=
AN
DM

x
5
=
t
10
-x

∴x2-
10
x-5t=0,
∵存在两个不同的位置,
∴该方程有两个不相等的实数根,
∴△=10-4×5t>0,
解得t<
1
2

∴当0<t<
1
2
时,总存在两个不同的位置,使∠BMN=∠BDA.
点评:考查了二次函数综合题,涉及的知识点有:待定系数法求抛物线的解析式,正切函数,勾股定理,等腰三角形的判定,相似三角形的判定和性质,根的判别式,综合性较强,有一定的难度.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知a>0且a≠1,下列函数中,在区间(0,a)上一定是减函数的是(  )
A、f(x)=
2x-a
x
B、f(x)=x2-3ax+1
C、f(x)=ax
D、f(x)=logax

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知
x2-2x-3≤0
|x-a|≤2

(1)当0<a<1时,求不等式的解;
(2)当x∈∅时,求实数a的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

在等差数列{an}中,3(a3+a5)+2(a7+a10+a13=48,则{an}的前13项和S13=
 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知集合A={x|3≤x<7},B={2<x<10},则A∩B(  )
A、{x|3≤x<7}
B、{x|3<x<7}
C、{x|2≤x<7}
D、{x|2≤x<10}

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

设0<b<a<
π
2
,求证:
sina
sinb
a
b
tana
tanb

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知数列{an}的首项a1=
3
2
,前n项和为Sn,且满足2an+1+Sn=3(n∈N*).
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)求满足
18
17
S2n
Sn
8
7
的所有n的和.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
2
sin(x+φ),0<φ<
π
2
,且f(0)=1.
(1)求φ的值及函数f(x)的单调递增区间;
(2)已知f(α-
π
4
)=
4
2
5
π
2
<α<π,f(β+
π
4
)=-
12
2
13
π
2
<β<π,求cos(α+β)值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知
a
=(x,2,0),
b
=(3,2-x,x),且
a
b
的夹角为钝角,则x的取值范围是(  )
A、x<-4B、-4<x<0
C、0<x<4D、x>4

查看答案和解析>>

同步练习册答案
关 闭