Question

【题目】已知函数f（x）=|xex|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则t的取值范围 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：f（x）=|xex|= 当x≥0时，f′（x）=ex+xex≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上为增函数；
当x＜0时，f′（x）=﹣ex﹣xex=﹣ex（x+1），
由f′（x）=0，得x=﹣1，当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）=﹣ex（x+1）＞0，f（x）为增函数，
当x∈（﹣1，0）时，f′（x）=﹣ex（x+1）＜0，f（x）为减函数，
所以函数f（x）=|xex|在（﹣∞，0）上有一个极大值为f（﹣1）=﹣（﹣1）e﹣1= ，
要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，
令f（x）=m，则方程m2+tm+1=0应有两个不等根，且一个根在 内，一个根在 内，
再令g（m）=m2+tm+1，
因为g（0）=1＞0，
则只需g（ ）＜0，即 ，解得：t＜﹣ ．
所以，使得函数f（x）=|xex|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根的t的取值范围
是 ．
所以答案是 ．