Question

【题目】已知函数
（1）若m=1，求函数f（x）的定义域．
（2）若函数f（x）的值域为R，求实数m的取值范围．
（3）若函数f（x）在区间 上是增函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：若m=1，则

要使函数有意义，需x2﹣x﹣1＞0，解得x∈

∴若m=1，函数f（x）的定义域为

（2）

解：若函数f（x）的值域为R，则x2﹣mx﹣m能取遍一切正实数，

∴△=m2+4m≥0，即m∈（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）

∴若函数f（x）的值域为R，实数m的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）

（3）

解：若函数f（x）在区间 上是增函数，

则y=x2﹣mx﹣m在区间 上是减函数且x2﹣mx﹣m＞0在区间 上恒成立，

∴ ≥1﹣ ，且（1﹣ ）2﹣m（1﹣ ）﹣m≥0

即m≥2﹣2 且m≤2

∴m∈

【解析】（1）要使函数有意义，只需真数大于零，解不等式即可得函数的定义域；（2）若函数的值域为R，则真数应能取遍一切正数，只需y=x2﹣mx﹣m的判别式不小于零，即可解得m的范围；（3）函数f（x）在区间 上是增函数包含两层含义，y=x2﹣mx﹣m在区间 上是减函数且x2﹣mx﹣m＞0在区间 上恒成立，分别利用二次函数的图象和性质和单调性即可解得m的范围