Question

已知常数a＞0，向量c＝(0，a)，i＝(1，0)，经过原点O以c＋λi为方向向量的直线与经过定点A(0，a)，以i－2λc为方向向量的直线相交于点P．其中λ∈R．试问：是否存在两个定点E、F，使得|PF|＋|PF|为定值．若存在，求出E，F的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值． 　　∵i＝(1，0)，c＝(0，a)， 　　∴c＋λi＝(λ，a)，i－2λc＝(1，－2λa)． 　　因此，直线OP和AP的方程分别为λy＝ax和y－a＝－2λax． 　　消去参数λ，得点P(x，y)的坐标满足方程y(y－a)＝－2a2x2， 　　整理得＋＝1　　① 　　因为a＞0，所以得： 　　(i)当a＝时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F； 　　(ii)当0＜a＜时，方程①表示椭圆，焦点E(，)和F(－，)为合乎题意的两个定点； 　　(iii)当a＞时，方程①也表示椭圆，焦点E(0，(a＋))和F(0，(a－)为合乎题意的两个定点．