Question

（2013•浦东新区二模）已知向量

m

=(1，1)，向量

n

与向量

m

的夹角为

3π

4

，且

m

•

n

=-1．
（1）求向量

n

；
（2）若向量

n

与

q

=(1，0)共线，向量

p

=(2cos2

C

2

，cosA)，其中A、C为△ABC的内角，且A、B、C依次成等差数列，求|

n

+

p

|的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设设

n

=(x，y)，由题意可建立关于xy的方程组，解之即可；
（2）结合题意易得

n

=(-1，0)，0＜A＜

2π

3

，进而可得的坐标，可表示|

n

+

p

|，结合三角函数的知识由A的范围逐步可得所求范围．

解答：解：（1）设

n

=(x，y)．由

m

•

n

=-1，得x+y=-1①
又向量

n

与向量

m

的夹角为

3π

4

得-

2

2

=

-1

2 • x2+y2

，即x²+y²=1②
由①、②解得

x=-1 y=0

或

x=0 y=-1

，
∴

n

=(-1，0)或

n

=(0，-1)．…（5分）
（2）结合（1）由向量

n

与

q

=(1，0)共线知

n

=(-1，0)；
由A、B、C依次成等差数列知B=

π

3

，A+C=

2π

3

，0＜A＜

2π

3

．…（7分）
∴

n

+

p

=(-1+2cos2

C

2

，cosA)=(cosC，cosA)，
∴|

n

+

p

|2=cos2C+cos2A=

1-cos2A

2

+

1-cos2C

2

=1+

1

2

[cos2A+cos(

4π

3

-2A)]=1+

1

2

cos(2A+

π

3

)．…（10分）
∵0＜A＜

2π

3

，

π

3

＜2A+

π

3

＜

5π

3

，
∴-1≤cos(2A+

π

3

)＜

1

2

，∴

1

2

≤1+cos(2A+

π

3

)＜

5

4

，
∴|

n

+

p

|2∈[

1

2

，

5

4

)，∴|

n

+

p

|∈[

2

2

，

5

2

)．…（12分）

点评：本题考查平面向量的数量积的运算，涉及正余弦函数的定义域和值域，属中档题．