Question

13．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0），其左，右焦点分别为F₁，F₂，若以右焦点F₂（c，0）（c＞0）为圆心作半径为c的圆与双曲线的右支的一个交点为M，且直线F₁M恰好与圆相切，则双曲线的离心率为$\sqrt{3}+1$．．

Answer 1

分析 由题意可得M在双曲线的右支上，MF₁⊥MF₂，且|MF₂|=c，|MF₁|=2a+c，F₁F₂=2c，运用勾股定理和离心率公式，计算即可得到．

解答 解：由题意可得M在双曲线的右支上，MF₁⊥MF₂，
且|MF₂|=c，|MF₁|=2a+c，F₁F₂=2c，
由勾股定理可得，c²+（2a+c）²=4c²，
化简可得e²-2e²-2=0，
∵e＞1
∴e=$\sqrt{3}+1$．
故答案为：$\sqrt{3}+1$．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查直径所对的圆周角为直角，考查离心率的求法，属于中档题．