Question

已知A，B分别是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)的左右顶点，F₁是椭圆C的左焦点，|AF1|=2-

3

，离心率e=

3

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P为椭圆C上异于A，B的任意一点，且PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q使得|HP|=|PQ|，连接AQ，并延长AQ交直线l：x=2于M点，N为MB中点，求

OQ

•

QN

的值，并判断以O为圆心，OQ为半径的圆与直线QN的位置关系．

Answer 1

分析：（1）依题意，可求得a与c，从而可得椭圆C的方程；
（2）设点P（x₀，y₀），依题意，可知H（x₀，0）和Q（x₀，2y₀），知A（-2，0），可得直线AQ方程，x=2与直线l交于M（2，

8y0

x0+2

），MB的中点为N（2，

4y0

x0+2

），可求得向量

OQ

与

NQ

的坐标，利用向量的数量积可证

OQ

⊥

NQ

，从而可判断出以O为圆心，OQ为半径的圆与直线QN相切．

解答：解：（1）e=

c

a

=

3

2

，|AF₁|=2-

3

=a-c…2
∴a=2，c=

3

，
∴椭圆C的方程为：

x2

4

+

y2

1

=1；…（4分）
（2）设点P（x₀，y₀），

x 2 0

4

+

y 2 0

1

=1…（5分）
∵|HP|=|PQ|，得H（x₀，0）和Q（x₀，2y₀），…（6分）
又A（-2，0），Q（x₀，2y₀），得直线AQ方程l为y=

2y0

x0+2

（x+2）…（7分）
x=2与直线l交于M点，M（2，

8y0

x0+2

），MB的中点为N，则N（2，

4y0

x0+2

）…（8分）

OQ

=（x₀，2y₀），

NQ

=（x₀-2，

2x0y0

x0+2

）…（9分）

OQ

•

NQ

=x₀（x₀-2）+2y₀•

2x0y0

x0+2

=x₀（x₀-2）+

x0(4- x 2 0 )

x0+2

=x₀（x₀-2）+x₀（2-x₀）=0…（11分）
∴

OQ

⊥

NQ

判断得出以O为圆心，OQ为半径的圆与直线QN相切．…（12分）

点评：本题考查椭圆的简单性质，考查数量积的坐标表达式的应用，突出综合运算能力的考查，属于难题．