Question

圆x²+y²=1与x，y轴的正半轴分别相交于A，B两点．
（Ⅰ）求AB所在的直线方程；
（Ⅱ）过点A做两条互相垂直的直线分别与圆交于P，Q两点，试求△PAQ面积的最大值，并指出此时PQ所在的直线方程．

Answer 1

解：（I）由题可知A（1，0），B（0，1）…（1分），所以AB所在的直线方程y=-x+1…（3分）
（II）解法1：由题可知直线AP，AQ的斜率都存在，且不能为0，…（4分）
设AP的斜率为k，则AQ的斜率为，AP的直线方程为kx-y-k=0
所以，从而：…（6分）
同理得：，所以…（8分）
（当且仅当k=±1时等号成立）
所以△PAQ面积的最大值为1，此时PQ的方程为x=0…（10分）
解法2：由题可知∠PAQ始终为直角，所以PQ必通过圆心，从而|PQ|=2
当A点距离PQ最远时，即△PAQ为等腰直角三角形时，
△PAQ面积取最大值1
此时PQ的方程为x=0
分析：（I）由已知圆x²+y²=1与x，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，我们易求出A，B两个点的坐标，代入两点式方程，整理后即可得到AB所在的直线方程；
（Ⅱ）解法一：由题可知直线AP，AQ的斜率都存在，且不能为0，分别设AP的斜率为k，则AQ的斜率为，则我们易求出AP及AQ的长（含参数k），代入三角形面积公式，利用基本不等式式，即可得到答案．
解法二：若∠PAQ始终为直角，则PQ必为圆的直径，当A点距离PQ最远时，即△PAQ为等腰直角三角形时，△PAQ面积最大．
点评：本题考查的知识点是直线和圆的方程的应用，直线的一般式方程，（1）的关键是求出A，B两点的坐标，（2）的关键关键法一是写出△PAQ面积的表达式，法二是得到PQ是圆的直径．