Question

2．已知函数f（x）=sinωx+$\sqrt{3}$cosωx（ω＞0），f（$\frac{π}{6}$）=f（$\frac{π}{3}$），且f（x）在区间（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$）上有最小值，无最大值，则ω=$\frac{14}{3}$．

Answer 1

分析 由题意利用正弦函数的图象特征可得当x=$\frac{π}{4}$时，f（x）取得最小值，即ω•$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈z，由此求得ω的值．

解答 解：f（x）=sinωx+$\sqrt{3}$cosωx=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$），
由f（$\frac{π}{6}$）=f（$\frac{π}{3}$），可得f（x）的图象关于直线x=$\frac{\frac{π}{6}+\frac{π}{3}}{2}$=$\frac{π}{4}$ 对称，
故有ω•$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，
∴ω=4k+$\frac{2}{3}$．
又f（x）在区间（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$）有最小值无最大值，故当x=$\frac{π}{4}$时，f（x）取得最小值，
故有ω•$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈z，
∴ω=8k+$\frac{14}{3}$，结合ω=4k+$\frac{2}{3}$．
∴解得：ω=$\frac{14}{3}$．
故答案为：$\frac{14}{3}$．

点评 本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质，求得ω•$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈z，是关键，也是难点，还考查理解与运算能力，属于中档题．